漫谈黎曼几何，揭秘高维空间的数学骨架

1854年6月10日，一门新的几何学诞生了。

半个多世纪后，爱因斯坦的出现，才唤醒了它真正的价值，成了支撑广义相对论的基石。

这就是解读空间奥义的黎曼几何。

黎曼几何的出现，预示着我们生活的空间，远没有想象的那么简单。我们对于空间原有的认知，就像一个盲人在描述色彩一样滑稽。

黎曼，支撑爱因斯坦的巨人

黎曼：我们对空间的描述太不真实。

在黎曼之前，我们对于空间的认知，完全源于2000多年前的希腊几何，即欧几里得几何。

我们生活的空间是“平的”，深进人心。

欧几里得的《几何原本》在各个学术领域被奉为《圣经》，如同一种信仰。

雄伟的教堂、浩大的广场、人声鼎沸的城市，都是基于它的原则而建立起来的。任何一个敢于言论曲面空间或高维理论的人，都如同异教徒一般。

所以，尽管欧洲一些数学家们早已意识到欧几里得几何的不完美，但由于思想信仰上的束缚，以及社会关系上的掣肘，没有人敢质疑它的权威。就像高斯，虽然对空间是“平的”感到不满，但却从不曾在公开场合发表自己的看点，只是在背后埋怨那些愚蠢的老顽固。

欧几里得几何的基础在现实世界中明明如此脆弱，人们却视而不见。对于最简单的直线定义，欧几里得只给出了一个感官的阐述，没有任何逻辑的支撑，这让欧几里得几何的雄伟大殿如同建在松散的沙丘之上。

而黎曼眼中的几何，应当是用来描绘世界的，而不是用来供奉的。

他看着连绵的山脉、无边的云海、打着旋儿的浪花，没有一处是平的，或是完美的圆形、三角形和矩形。世界本就是曲面的，而描述物体外形的几何，却无法描绘这一切，这是何等的可笑与无奈。

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这种思想在黎曼脑中翻江倒海，各种光怪陆离的想法汇聚了起来，在大脑中孕育着关于空间的潘多拉魔盒。

黎曼球面，球面与日常平面感知的关系

被高斯逼出来的《论奠定几何学基础之假设》击碎了2000年来的希腊几何支柱

作为一个高中时，就试图用数学公式来证实《圣经》创世纪的人，黎曼的数学天赋是毋庸置疑的。

而作为黎曼的老师，保守的高斯对黎曼更抱有殷切的期看，期看借他之口“改变世界”。于是对于黎曼的哥廷根大学就职演讲，高斯给出了一道世纪性的难题：论几何的基础。

面对这个选题，本就身体虚弱的黎曼一度抑郁到了神经衰弱，因为他要建立的是一套挑战欧几里得几何的高维空间理论，当时称为空间-流形。

黎曼要么被陈旧的认知壁垒所阻，受社会排挤；要么开启全世界数学家的认知突围，开创一个新的空间看。这样的压力可想而知。

为了让人们更易理解且接受他的思想，黎曼把高斯的平面“书虫”假象进行了扩充，用于阐述几何与我们已熟悉的力之间的关系。

假如一张纸上生活着二维生物，把它们生活的纸褶皱之后，它们依然会觉得世界是平的，但当它们在褶皱的纸上运动时，它们就会感到一股看不见的“力”阻止它们沿直线运动。

这是自牛顿200年以来，人类首次在思想上对空间认知的突破，黎曼成为了第一个认为力是由空间变形造成的人。

假如把这个构思扩展到我们的三维世界，就可以得到这样的结论：我们看不见空间的弯曲，但在弯曲的空间中运动，会感到一股神异的力在拉拽我们。而这种力不仅是引力，黎曼把电力、磁力也回结于宇宙在第四维空间的褶皱，只是我们看不见。

黎曼通过引进第四空间维度，无意间探知到了自然定律在高维度会变得更加简单的秘密。而且他还找到了，让所有人都能认同他思想的表述方法。

高维空间里的勾股定理，扶助我们描述看不见的高维物体的特征。

自从黎曼的演讲公布后，所有的数学家们没有人再往研究欧几里得几何，纷纷投进到研究黎曼几何的热潮中。

黎曼以极其简洁的方式，表达了他的核心内容。它建立在我们都非常熟悉的勾股定理之上，非常好理解。通过把直角三角形的三边长关系定理：a^2+b^2=c^2，妥善到高维。

勾股定理，也称毕达哥拉斯定理

三维立方体的三边与对角线关系就是：a^2+b^2+c^2=d^2（abc为三边，d为对角线）。

再妥善到N维超立方体则是：a^2+b^2+c^2+d^2+……=z^2。

如此，尽管我们大脑很难想象高维物体的外形，但黎曼通过数学构建了其骨架。当黎曼把这些方程妥善到任意维度后，原有的欧式几何认知都将会打破。在我们真实的世界中，三角形之合大多数时候并不等于180°，平行线不再平行，直线可能变得弯曲……

黎曼改变了我们对“空间是平的”的认知。为了描述所有的曲面，他将拉法基场的概念引进到了黎曼几何中，通过给空间上每一个点引进一个数字聚集，来描述空间在这一点上的所有状态即曲率值。

一个普通的二维面，只需要引进三个数字的聚集，就可以完全描述它的所有弯曲状态。而在四维空间，黎曼发现需要至少10个数字的聚集。这个数字聚集就称为黎曼度规张量。

这些数字中有6个实际是余外的

这些密密麻麻的数字或许让人看而却步，但我们只需要理解其代表的空间概念即可。

空间成了黎曼手中的玩具，他才是支撑起近代物理学的巨人。

黎曼度规张量的出现，甚至提前预言了物理学的下一个发展方向，而且黎曼可能才是发现多连通空间或虫洞的第一人。

黎曼曾假设了一种两个曲面连接的方式，比如拿两张纸，在每张纸上剪一个切口，然后两张纸沿着切口粘起来。我们的二维“书虫”就可以经切口处，从一张纸爬到另一张纸上，这个切口被称为“黎曼切口”。

黎曼切口

黎曼切口就像一个连接两个空间的虫洞，而黎曼只把它当做了数学几何，而没有赋予它物理意义上。但实际上，黎曼也一直在做着以高维空间来统一力的事情，1858年，他甚至还宣称找到了统一光和电的描述。

但不幸的是，穷困与疾病几乎伴随了他的一生。黎曼39岁就病逝于肺结核，而他也未能发表出关于引力、电力、磁、光的几何理论。但他的工作却成为了后世物理学界浩大的宝躲，成就了麦克斯韦和爱因斯坦两位科学巨人的崛起。

黎曼为物理学界留下了三大主要的研究课题：

1、高维空间可以用来简化自然定律，他预言了电、磁、引力都是高维空间褶皱引起的。

2、为虫洞概念留下了最简单、最直看的例子。

3、通过度规张量里包括的曲率数值可以来描述引力，把引力表述为了场的概念。

然而也正因为黎曼度规张量的强大，使用它，任何维度空间都能被明确定义并找到自洽性，不会出现早期关于高维空间研究中无法回避的逻辑矛盾。

随着黎曼掀起的高维空间思想被广泛传播，世界的描述被改变了，也掀起了19世纪末20世纪初的神异主义泛滥。

空间的潘多拉魔盒被打开，世界却被“神异的四维”所诅咒。

一切新事物、新看点的出现，总会伴随着争议与误读，黎曼的高维空间思想也是如此。

在四维空间概念风靡全欧洲后，众多的科学家纷纷加进到了四维空间的科普中。物理学家急切地期看找到黎曼几何的物理使用，然而却被另一些科学家以世俗的实用主义，来讨论二维生物该如何食饭？

结论是一根消化道就足以要了二维生物的命，因为它的身体将会被这根消化道一分为二。

或者往探讨四维生物应该是什么样子的？

而这成为了大众的兴奋点。这样的生物可以穿门而进，在任意空间位置上出现或消失，无视远近看见我们所看不见的地方，为我们进行无需开刀的外科手术……最终要么成了神，要么成了鬼，或者制造出如1877年轰动伦敦的巫师亨利·斯莱德事件。

一个声称能在四维空间自由穿梭的骗子，引起了一群科学家的兴致，而要揭露他的把戏只需要一个魔术师就行了，而不是科学家。这场“臭名昭著的四维”话题彻底给高维空间贴上了不靠谱的神异主义标签。

大家只注重到了黎曼几何带来了的光怪陆离的新奇刺激，却忘记了黎曼的初衷。没有清楚的物理动机，纯数学概念往往就变成了社会流量的消费品，以及各种曲解的投机事件。

惋惜黎曼的高等数学超出了19世纪物理学的认知，那时的物理学家无法给它一个清楚物理绘景，使它一直蒙尘。而由黎曼几何掀起的四维探知热潮却没有褪往。四维成为神异主义的天堂，将人们对四维的认知引上了歧途。

黎曼虽然建立了高维空间的数学骨架，但无法使人们对其产生直看的感知。在下一节，我们将看到对于看不见的四维物体，数学家们是怎么使其可视化的。