势场中的微看粒子如何演化？《张朝阳的物理课》试解薛定谔方程

如何在给定势场中的微看粒子如何随时间演化？哈密顿算符在量子力学中为何如此重要？在微看世界如何进行物理看测？

3月19日12时，《张朝阳的物理课》第131期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间，首先为大家回忆了波包传播中的相速度和群速度，然后运用解微分方程“三板斧”讨论了具有势场的薛定谔方程，发现其解的一般形式是具有时间相位的哈密顿量本征态的线性组合。在这个过程中，张朝阳详尽分析了相关数学技艺对应的物理意义，引出了定态的定义和在量子力学中对测量的概率诠释，并用整个框架重新分析了在无限深方势阱中的粒子是如何演化的。

势场中微看粒子波函数的一般形式

在最近几节直播课上，张朝阳从解偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）的角度详尽解读了自由的微看粒子如何随时间演化这一问题。利用解PDE的“三板斧”，张朝阳得到了自由粒子薛定谔方程一般解的形式。基于此，可以分析束缚在一点的狄拉克δ粒子、静止或者有初速度的高斯波包的演化行为，及其具体的数学表达式。在本次课程开始前，张朝阳首先带领大家再次回忆和分析了波包传播中的相速度和群速度的定义：

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以及两者之间的区别。对于k空间上的一个狭隘的波包，对应到x空间上

以这个形式，可以清楚地看到前者是波包相位的传播速度，不具有物理意义；后者是波包振幅的传播速度，是波包运动物理的真实的刻画。特殊地，假如谈论的是一个量子力学的物质波，只有它的振幅的模方是物理可看测的，它将是一个保持波形向前运动的实函数：

在这里，张朝阳特殊为大家澄清一个轻易误解的点。注重到，在分析高斯波包的时候，我们会关注到一个量子的物质波会随时间弥散，这里则不然。区别在于分析群速度的时候，为了讨论直看方便，我们取的是一个狭隘波包作近似，而不是高斯波包的精确解，于是弥散的部分被暂时漠视了。

从数学的角度分析了许多具体案例后，张朝阳想与各位看众一起再重新讨论一下其中具体的物理意义。首先要讨论的是量子力学的一些基本原理。在量子力学中，单个微看粒子用波函数ψ来刻画。它本身在更多时候仅仅是一个数学工具，有物理意义的是它的模方：

它表达在某点处发现粒子的概率密度（Probability density）。那么在整个空间上找到这个微看粒子的概率无疑是：

这个等式又称为回一化条件。同时，量子力学中的物理量被上升到算符的概念，比如动量算符定义为对空间的求导：

以及自由粒子的哈密顿算符（Hamiltonian）：

这里等式右边仅有动能部分，没有势能的参与——换句话说就是不受力的作用，这也是我们所说的“自由”的意义。

利用分别变量法解PDE时，我们假设：

代进自由粒子薛定谔方程：

得到：

两边除掉ψ(t,x)后，它们应该等于一个常数：

由第一个等号得到：

它的解是我们熟悉的：

相应地，从第二个等号得到：

利用哈密顿算符的定义，可以将它整理成：

不难看出函数h(x)事实上是哈密顿算符对于本征值（eigen value）ω的本征函数（eigen function）或者本征态（eigen state）。

这个时候，假如在量子体系中引进势场，相应的哈密顿算符应该写为：

再次利用分别变量法，我们需要解本征方程：

这里我们利用下标n来区分不同的本征值和对应的本征函数，因为在很多情状下，比如前面课程讨论过的无限深方势阱，本征值的取值往往是分别的。一旦求解了哈密顿算符的本征方程，薛定谔方程的一般解就可以写成如下形式：

这里可以把求得结果和自由粒子的一般解做一个对比。注重到当没有势场存在时，函数：

恰好既是动量算符的本征函数，也是哈密顿算符的本征函数。但是这个结论对于在势场中运动的粒子不再成立。可以这样来理解这件事：还是回到氢原子模型，这个时候电子在库伦势场中运动，它的基态波函数像云一样弥散在空间上。但是由于在半径不同的地方，库伦势能的取值不同，当电子随机出现在这两点处时，对应取得的动能也会有所区别，进而对处在基态的电子来说，动量的取值也不再是恒定的。这个时候，我们需要用解得的哈密顿算符本征函数来替代它，然后乘上对应的时间相位，再按一定的系数将它们线性组合，就的得到了在势场中运动的粒子波函数的一般形式。

（张朝阳求有势场存在时的薛定谔方程一般解）

定态与量子测量的概率诠释

至此，我们的问题又重新回到了求解哈密顿算符的本征方程。一般为了方便起见，我们对本征函数还有另外的要求，比如求各本征函数之间是正交回一的。正交回一指对以n、m标记的本征函数之间称心：

这里假设了在势场中的粒子取到束缚态，“回一”和前面提到的“回一化”是一个意思，而“正交”是指粒子处于不同本征态时不会互相干涉。假如谈论的是自由粒子来说，则正交回一可以认为是要求：

又称为δ回一化条件。

假如在初始时刻，粒子就处于某一个特定的本征态上：

也就是在解的一般形式：

中：

随着时间的流逝，可以知道：

和初始时刻波函数只有一个相位的区别。对应的概率密度

与时间无关。也就是说，假如粒子在开始时处于某个本征态上，那么此后它将一直保持在这个态上，这也就是为何哈密顿量的本征态又被称为“定态”。它反映的是量子力学中的能量守恒：假如开始时粒子具有确切能量，这个能量的取值不应该随着时间的流逝而改变。

有了波函数最一般的形式，我们再来看回一化条件：

其中求和、系数和时间的相位部分与积分变量x无关，所以可以被提到前面，整理得到：

注重积分部分与正交回一条件一致，所以：

于是利用哈密顿算符的本征函数，可以将回一化条件重写为：

再来看与物理量看测相关的一个计算，我们知道对微看粒子的看测是“随机”的，假如能够对一个粒子做多次重复看测，我们可以讨论可看测量的期看值（Expectation value of observable）。以能量为例，假如粒子的波函数是ψ(t,x)，能量的期看值定义为：

因为哈密顿算符是线性的，可以让它依次作用到求和里面的各项本征函数，再利用本征方程可以得到：

接下来的计算与之前计算回一化时是一致的，只不过在第二个求和号里面多了一项。整理后，它的结果是：

这个式子可以这样表述：能量的期看值等于粒子可能取到的不同能级，以对应系数模方为权重作加和。结合这个表述和前面回一化的重新表述，很自然地可以引出这样一个阐明：假如一个波函数可以按看测量（比如能量）本征函数分解：

那么当我们进行看测时，仪器给出对应看测值（比如某个能级E_k）的概率应该恰好为展开系数的模方：

这也就是量子测量的概率诠释的一种表达方式。

（张朝阳解析可看测量期看值的定义）

粒子在无限深方势阱中的波函数

为了更好地理解本节直播课的内容，张朝阳在结束前重新回忆了量子力学中最简单的模型之一——无限深方势阱——的求解。无限深方势阱是指粒子被局限在这样一个势场中：

形象地说，我们在x0和xa的区域分别放下一堵坚实的高墙，使得粒子一定无法穿越或者渗透进往，于是：

而在墙之间，粒子的运动服从自由粒子薛定谔方程，但是需要同时称心边界条件：

为了得到一般解，首先我们要解相应的哈密顿本征方程：

在往年的课程中，张朝阳已经详尽地分析过粒子在这样一个势阱中的能级取值和对于的波函数的形式。同时它指出，事实上，这个问题和热传导中的狄利克雷（Dirichlet）边界问题在数学形式上是一致的。首先，这个线性微分方程有两个齐次解：

其中：

在x = 0的处的边界条件首先清除了余弦解，再利用x = a处的边界条件，对k_n做出约束，于是可以得到：

对应的能量本征值：

对于前面的系数，可以通过回一化条件求得：

于是我们可以得到，在这样一个势场中，粒子波函数最一般的形式是

假如知道了初始时刻

利用正交回一化条件可以求出分解系数

进而可以讨论这样一个粒子在无限深方势阱中随时间如何演化。

(张朝阳求解无限深方势阱中的薛定谔方程)

据了解，《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”，看看直播及往期完全视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频。此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详尽文章。

本节课相关视频如下

能量算符的本征态—定态

含势V情状下的本征函数

无限深势阱的本征函数