《中国大百科全书（第2版）》读书笔记12432-非线性动力学

非线性动力学 nonlinear mechanics

研究非线性动力系统中各种运动状态的定量和定性法则，特殊是运动模式演化行为的学科。

一般认为，随时间而转变的工程、物理、化学、生物、电磁，甚至天体、地质系统都可称为动力系统，假如这些转变是用非线性方程（包括常微、偏微、代数等方程）描述，则称为非线性动力系统。

非线性方程的求解方法远没有线性方程那样完美，所以非线性动力学的发展较晚。

最早进行的系统研究是在非线性振动领域。与线性系统十分接近的非线性系统常称为弱非线性系统。1918年G.杜芬研究了具有硬弹簧的质量弹簧系统的受迫振动，其数学模型是：

（1）

1926年B.范德波尔研究了三极管电子的振荡，其数学模型为：

方程(1)、（2）分别称为杜芬方程及范德波尔方程，式中的非线项均乘有小参数ε。对这些弱非线性系统的研究，已经显示出许多不同于线性系统的新现象。

如方程（2）代表的自持系统中虽然没有交变的激励，却可产生振幅稳定的自激振动；方程（1）中交变外激励不只可激起同频的响应，还可激起亚谐及超谐响应；参数转变时受迫振动振幅的跳跃也阐明非线性系统中存在分岔现象。

求解非线性振动的方法主要发展了几何法与近似解析法。几何法是利用相平面内的相轨迹对运动过程作直看的描述，相平面上的奇点及极限环就对应系统的平衡状态及周期运动。

近似解析法则利用摄动的方法对非线性方程求近似解析解，除小参数法外，还有平均法、谐波平衡法、多尺度法及渐近法等。

但这些方法都只能研究非线性动力系统的局部特性，难于显示非线性系统中更多的丰盛多彩的现象。

在19世纪末，法国科学家H.庞加莱在研究天体力学问题时就注重到非线性系统的长时间状态的复杂性，这是人类第一次熟悉到某些非线性系统中运动对初始条件的强烈敏锐性。

1960年美国气象学家E.劳伦兹在分析天气预告模型时发现，计算机上输进同样的有限位数的初始数据（实际上因微小的舍进误差而不同），计算所得的长期天气情状完全不同，并得出长期不可预告（轨道意义）的结论。

这种产生于确定性系统中的对初始条件有很强敏锐性的运动称为混沌。混沌是一种决定性的现象，它所表现的内在“随机性”运动不同于无序或噪声；而且具有某种自相似结构。

混沌使人们对非线性动力学中长期演化行为的熟悉进进到一个全新的世界，在产生混沌的机理和途径、混沌的判据和统计特性、耗散系统中的希奇吸引子及吸引域的几何结构、混沌的掌握与工程使用等方面均已有明显的研究成果。

20世纪后半叶以来，非线性动力学学科中除混沌以外，还出现了诸如分岔、突变论、协同学、分形等课题，并在气象、生物、化学、流体力学、天体运动学等领域得到了使用。

摘自：《中国大百科全书（第2版）》第6册，中国大百科全书出版社，2009年